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ESSAI DE MATHEMATIQUES,
A
DU

L’ÉCOLE
DÉPARTEMENT

CENTRALE
DE

LA

DORDOGNE.

L.'A

est la science des nombres.
On exprime toutes sortes de nombres par la
combinaison de dix chiffres. Partage des nombres
en tranches de trois chiffres chacune. Les opé­
rations fondamentales de l’arithmétique, sont
l’addition , la soustraction , la multiplication et
la division : chacune a des règles particulières.
I I.
Un tout pris pour unité, peut se diviser en
plusieurs parties. De là naissent les fractions. La
valeur d’une fraction ne change pas , soit qu’on
rithmétique

multiplie, soit qu’on divise ses deux termes par
un même nombre. Ce principe sert à réduire
plusieurs fractions au même dénominateur. Opé­
rations sur les fractions.

Vzrifier le résultat de
chaque opération.

Transformer un entier
en fraction.

Réduire plusieurs frac­
tions au même dénomiteur.

a

I I I.
Fractions décimales. Elles rentrent dans la classe
des fractions ordinaires. Règles à observer. Trans­
formation et utilité des décimales. Autres espèces
de fractions : opérations sur les unes et sur les
autres.

PROBLÈMES.

Réduire une fraction,
en décimales.

ALGÈBRE.
I.
Avantages de l’Algèbre. Elle fait sur les lettres
les mêmes opérations que l’arithmétique sur les
chiffres ; elle a de plus la réduction. Les lettres
■employées dans le calcul algébrique , forment
des expressions algébriques. On distingue dans

Trouver la somme,
la différence , le produit
et le quotient de deux
quantités algébriques.

ces expressions , les termes, les signes, les
coéfficiens et les exposans , qui ont dans leurs

combinaisons des règles particulières.

I I.
Fractions algébriques sujettes aux mêmes opé­
rations que les fractions numériques. Règles par­
ticulières à observer.

I I I.
Puissances des quantités. Par la formation des
puissances on connaît les signes qu’on doit donner
aux puissances paires et impaires d’une quantité
algébrique quelconque; et les produits qui entrent
dans la composition de ces puissances. Manièie
d’exprimer et de calculer toutes sortes de puissances
par le moyen de leurs exposans. Calcul des
radicaux, et des imaginaires.
I V.
La formation même des puissances donne un

Trouver, par approxi­
mation , la valeur d'une
fraction algébrique,dont
le dénominateur est un
binôme.
Indiquer les différens
produits qui entrent
dans la composition des
puissances , et particu­
lièrement du carré et du
cube.
Trouver Les puissances
successives d'une quan->
tité imaginaire.

moyen d’extraire les racines des quantités soit
algébriques, soit numériques. Application au
carré et au cube, d’après la connaissance des
produits qui les composent : règle particulière
pour les nombres. Un nombre ne peut avoir à
son carré plus que le double de ses chiffres,
ni plus que le triple à son cube. Conséquences
qui en résultent.

PROBLÈM ES.

Extraire, la racine carrée ou cubique d'une
quantité algébrique ou
d'un nombre quelconque

V.
Comme les opérations qu’il faut faire pour
obtenir la puissance ou la racine d’une quantité
algébrique quelconque , sont d’autant plus com­
pliquées , que le rang de cette puissance ou de

Développer la démons­
tration de Informulé du
bynome , et en faire
quelques applications.

V I.

Si l’on veut extraire par approximation la
racine m de la quantité ( a m 4- b ) ? b étant très-

petit en comparaison de am, on pourra , sans
employer la formule précédente, qui ne donne
quelquefois que des approximations lentes , avoir
Développer les for­
mules particulières de
Halley.

1

4
ticulières de Halliy, dont on peut faire le plus

PROBLÈMES.

grand usage dans la pratique des mathématiques,

V I I.
£ Q U A T I O N S.

Fondement de la résolution des problèmes
mathématiques ; de là naissent les équations. Les
opérations qu’il faut faire pour parvenir à la solu­
tion d’un problème, sont particulièrement la trans­
position , la multiplication , la division, la subs­
titution et l’extraction des racines. Les équations

que fournissent les conditions d’un problème sont
plus ou moins composées; il a donc fallu les
partager en plusieurs classes ou degrés , qu’on
distingue par l’exposant des quantités inconnues.
On résout facilement toute équation du premier
degré. Application à la résolution de quelques
problèmes particuliers.

Résoudre généralement
une équation du premier
degré , et déterminer ,
torsquon a autant d'é­
quations que d'incon­
nues , les valeurs de
chacune de ces incon­
nues.

Déterminer le cas où
la solution d'un pro­
blème du second degré
est impossible.

Indiquer de quelle
manière se forment les
raisons composées, dou­
blées , triplées, &c.

1

X.

Dans toute proportion arithmétique , la somme
des extrêmes est égale à celle des moyens , ou
au double du moyen proportionnel, si la propor­
tion est continue. Quatre grandeurs sont arith­
métiquement proportionnelles toutes les fois que
la somme des extrêmes est égale à la somme
des moyens.
X I.

Une suite de termes entre lesquels il règne
une même différence , forme une progression
arithmétique ; dans toute progression arithmé­
tique la somme des termes 'qui sont égale­
ment éloignés des extrêmes, est toujours cons­
tante et égale à la somme de ces mêmes extrê­
mes , ou au double du moyen , si le nombre
des termes est impair : un terme quelconque est
égal au premier plus ou moins , la différence

prise autant de fois qu’il y a de termes avant
lui. Nommant a le premier terme d’une pro-

Dans toute proportion géométrique, le pro­

duit des extrêmes est égal au produit des moyens
ou au carré du moyen proportionnel , si la pro­
portion est continue. Toute équation peut être
changée en proportion. On peut, sans détruire

une proportion géométrique , changer l’arrange­
ment de ses termes autant de fois qu’il est possible ,
en conservant les mêmes moyens et les mêmes
extrêmes, ou en faisant des deux moyens les
deux extrêmes, et des deux extrêmes les deux

moyens ; multiplier ou diviser les quatre termes

PROBLÈMES.

Etant donnés trois
termes d'une proportion
arithmétique, trouver li
quatrième.
Trouver un moyen
proportionnel arithmé­
tique entre deux quan­
tités données.

Insérer un nombre
quelconque de moyens
proportionnels, arithmé­
tiques en deux grandeurs
données.
Etant données trois
de ces quatre choses , le
nombre des termes d'une
progression arithméti­
que , leur somme , le
premier et le dernier ,
trouver la quatrième.

Etant donnés trois ter­
mes d'une proportion
géométrique, trouver le
quatrième.
Trouver un moyen
proportionnel géométri­
que entre deux quantités
données.

6
par les termes correspondans d’une autre pro­
portion , et les élever à une puissance quel­

conque , ou en extraire la même racine; la
théorie des proportions fournit la règle de trois ,
qui est simple , directe , inverse , composée , etc.

PROBLÈMES.

Appliquer lu règle de
trois à des exemples.

XIII.

Une progression géométrique , est une suite
de termes tels que la division de l’un par l’autre
donne toujours le même quotient. Dans toute
progression géométrique, le produit de deux
termes également éloignés des extrêmes est égal
à celui des extrêmes ou au carré du terme moyen,
si le nombre des termes est impair. Deux termes
quelconques , sont entr’eux comme le premier et
le second , élevés à la puissance marquée par
l’intervalle qui sépare ces deux termes. Un terme
quelconque est égal au premier multiplié par le
quotient, élevé à une puissance marquée par le
nombre des termes précédens. Nommant a le pre-

Insérer entre deux
quantités données un
nombre quelconque de
moyens proportionnels
géométriques.

Etant données trois
de ces quatre choses, la
somme des termes d’une
progression géométri­
que , le premier et le
dernier, et la raison ,
trouver la quatrième.

Logarithmes.
Invention des Logarithmes. Leur nature déduite
des progressions géométriques ; leur utilité. Idée
des travaux de ceux qui ont construit des tables ;
tout système logarithmique dépend de la base
qu’on choisit. Système des tables ordinaires. Quel-

Appliquer particuliè­
rement l'usage des lo­
garithmes à la détermi­
nation de quelques quan­
tités dépendantesdes pro­
gressions géométriques.

PROBLÈMES.

Équations

des degrés supérieurs.

Toute équation transposée, peut être consi­

dérée comme le produit de plusieurs facteurs égaux
ou inégaux. Elle est par conséquent du degré
marqué par le nombre de ses facteurs. Le coefficient
du second terme est égal à la somme de toutes les
racines ; celui du troisième terme est égal à la
somme des produits de ces racines prises deux
à deux , celui du quatrième est égal à la somme

des produits de ces mêmes racines prises trois à
trois , etc. Ainsi de suite jusqu’au dernier terme
qui est égal au produit de toutes les racines.
D’où il suit, i.° qu’une équation qui manque
de second terme a des racines positives et des
racines négatives , et que la somme des unes
est égale à la somme des autres. 2.0 Qu'une
équation qui n’a pas de dernier terme, a au
moins une racine égale à zéro.

Faire évanouir un ter­
me quelconque d’une
équation.

Indiquer une jnéthode pour trouver les raci­
nes commensurables
dune équation.

XVI.
Une équation peut avoir un certain nombre

de racines imaginaires , quoique tous ses coefficiens soient réels. L’existence d’un facteur ima­
ginaire dans une équation , entraîne celle d’un
facteur pareil , qui ne diffère du premier que
par le signe radical imaginaire. Donc i.° les
racines imaginaires qui se trouvent dans une
1

Déterminer le cas ou
une équation d’un degré
pair doit avoir au moins
deux racines réelles.

8

équation, y sont toujours en nombre pair.
2.0 Toute équation d’un degié impair a au
moins une racine réelle.

PROBLÈMES.

XVII.

en partie rationeiies et en partie incommensu­
rables , peuvent être très-utiles dans la solution
complète des équations. Il importe donc pour
cette solution , que ces racines d’abord indiquées
seulement, soient réduites , lorsque cela est pos­
sible, à des expressions plus simples, dans lesquelles
il n’entre qu’une quantité rationnelle et un radical.
Moyen d’y parvenir.

Extraire, la racine
carrée ou cubique d'une
quantité en partie rationelle , et en partie in­
commensurable.

XVIII.

On facilite la solution des équations en faisant
évanouir le second terme. On résoudra toute équa­
tion du troisième degré, réduite à la forme
x’+/>x+ q=o en égalant x à deux nouvelles
inconnues , et ses trois racines seront générale­
ment exprimées par ces trois équations.

dont les deux dernières peuvent être imaginaires ,
et qui peuvent toutes les trois être réelles , quoi­
qu’elles se présentent, dans ce cas, sous des

formes imaginaires.

Développer les trois
valeurs de x dans le cas
irréductible.

Appliquer les formules
à des cas particuliers.

9

PROBLÈMES.

X I X.

du second degré , dans lesquelles entrent trois
nouvelles indéterminées , et ses quatre racines
seront généralement exprimées par

Déterminer les cas où
les quatre racines sont
réelles ou toutes quatre
imaginaires , ou deux
réelles et deux imagi­
naires. D'après l’équa­
tion qui donne

£ étant donné par une "équation du sixième

degré qui n’a d’autres difficultés que celles du
troisième.

REPONDRONT:
les

FRANÇOIS

Citoyens

PRÉVOT-LEYGONIE , de Montagnac-Lacrempse 9

PIERRE DUBOIS, de Périgueux.
ANTOINE P E Y S S A R D , de Périgueux.
LEONARD DALESME, de Bassillac.
Elèves de Mathématiques.

TAMARELLE-LAGRAVE, .