FRB243226101_PZ_2746.pdf

extracted text

ESSAI

DE MATHÉMATIQUES,
A L’ÉCOLE CENTRALE
DU DÉPARTEMENT DE LA DORDOGNE,
Le lir Fructidor , an VII de la République française,
dans la Salle Décadaire, à trois heures après-midi^

Chez L. Canler* Imprimeur du Département et de l’École
centrale, restant à la ci-devant petite Mission,.
An VIL.® de la République,.

ESSAI DE MATHÉMATIQUES,
A

L’ÉCOLE

CENTRALE

DU DÉPARTEMENT DE LA

DORDOGNE.

CALCUL.

PROBLEMES.

Développer la démons­
tration de la formule du
bynome y et en faire
quelques applications, •• &c. Au moyen de laquelle on
élève un polynôme quelconque, à une puissance
quelconque, ou on en extrait la même racine
exacte ou approchée.

I I.

Les séries ou suites sont finies on infinies,
Développer la métho­
convergentes ou divergentes. La méthode des
de
des coefficiens indéter­
coefficiens indéterminés, est d’un grand usage
minés , et l appliquer à
dans le calcul des séries. Elle a pour but prin­ des exemples.
cipal de faire connaître la suite des termes que
l’on peut déduire de certaines quantités algébri­
ques , en fournissant autant d’équations particu­
lières que des coefficiens indéterminés, au moyen
desquelles on trouve la valeur de chaque coeffi--

(4)
tient. On obtient par cette méthode la valeur
approchée d’une expression algébrique fraction­
naire , ou la racine approchée d’une. quantité
quelconque.

PROBLÈMES,

I I I.

La plus utile des opérations à faire sur les
suites , consiste à les sommer. Elle se borne , pour
Déterminer en fracainsi dire, à trouver la méthode d’en sommer tion ordinaire, la valeur
quelques-unes qui servent de formules auxquelles
une fraction périodique
,
...
-il-,
•
>
influe.
on ramene, s il est possible , les suites qu on veut
ommer ; c’est ainsi qu’on parvient à sommer la

Il est quelquefois utile ou nécessaire d’avoir
la somme d’un nombre quelconque de termes
d’une suite Ou progression quelconque dé puis­
sances des nombres naturels, appellant a le pre­
mier terme, q le dernier, s la somme des ter­
mes , m un exposant servant à désigner les diffe-

(5 )

PROBLÈMES.
V.
On peut traiter les série sous un rapport aussi
simple et plus avantageux , en considérant l’ex­
pression algébrique de chaque terme sous une
forme générale qu’on appelle terme général, qui
offre, par simple substitution , un terme quel­
conque de la série, pour tâcher d’en trouver en­
Etant donné le terme
suite la somme, générale , ou le terme sommatoire sommatoire d'une série,
qui donne généralement la somme d’un nombre indiquer comment on
quelconque de termes de la série. Quoique cette trouve son terme général.
manière. d’envisager les suites présente beaucoup
de difficultés , elle offre tant d’avantages dans Ses
applications, qu’on ne peut trop s’attacher à la
perfectionner.
V I.
La somme générale d’une série étant donnée ,
il est aisé d’en trouver le terme général ; mais il
n’est n’est pas aussi facile de trouver la somme Développer lu démons­
générale lorsque le terme général est donné. Et tration de cette formule
et en faire des applica­
il est très-peu de cas où ce problème puisse être tions particulières.
résolu. T étant une fonction rationnelle d’un

V I I.
La méthode inverse des séries qu’on appelle
aussi retour des suites , est une des j>lus utiles

c't y...,
de l’analyse. C’est pat l’usage des coefficlens in­
déterminés qu’on parvient à la démontrer et à
la pratiquer. Elle est tout à la fois exacte et com­
mode , et trouve son application dans une infi­
nité de parties mathématiques.
VIII.

Invention des logarithmes. Leur nature déduite
des progressions géométriques. Tout système
logarithmique dépend de la base qu’on choisit.
Système des tables ordinaires. Idées des travaux
de ceux qui ont construit des tables de loga­
rithmes. Quelque système qu’on choisisse , on

S'ily a cent mille ha­
bitans dans un départe­
ment , et que la popu­
lation y augmente tous
les ans de la trentième,
partie , quel sera le nom­
bre des habitans au bout
d'un siècle.

Quelle est la quantité
dont il faudrait qu'un
peuple s'accrut tous les
ans , pour être deux fois
plus nombreux à la fin
de chaque siècle.

( 7)
méthodes pour les simplifier. Parmi ces méthodes ^PROBLÈMES.
celle des suites a mérité l’attention des géomè­
tres par la rapidité de sa marche. Suivant les
Développer la démons­
principes de cette méthode, l’expression générale tration de cette formule.
du logarithme de i±x est L ( i ± x )= A ( ±; x

D’où il suit qu’un même nombre peut avoir une
infinité de logarithmes. Supposant le module A
= i on aura les logarithmes naturels ou de
Néper, qu’on appelle aussi logarithmes hyperbo­
liques.

X.

'Appliquer ces formu­
les à la recherche du lo­
garithme hyperbolique
déun nombre quelconque*
étant plus petit que a au moyen de laquelle il
serait facile d’avoir le logarithme naturel d’une
quantité quelconque. Cette série fournit encore

I X.

Le logarithme de la base logarithmique étant
toujours l’unité, il est facile de déterminer le
module, pour un système logarithmique autre que
Déterminer le module
celui des logarithmes naturels, et par conséquent pour un système quel­
de ramener ces derniers au logarithme d’un système conque de logarithmes*

(8 )

quelconque. D’où il Wrt que pour ramener les

PROBLÈMES»

logarithmes hyperboliques aux logarithmes tabu­
laires , il faut multiplier les premiers par la fraction
o , 43419448. &c. ; et réciproquement, pour
changer les logarithmes des tables, des logarith­
mes hyperboliques, il faut multiplier ceux - là
par 2, 30258509. &c.
XII.

rour revenir au îoganinme au nuniure auquel
il appartient ; on réduit la difficulté à trouver
le nombre auquel répond un logarithme hyper­
bolique donné; et, pour y parvenir on emploie
dz. méthode inverse des séries. Nommant n le nombre

Construction

Trouver la base des
logarithmes hyperboli-'
ques.

géométriques.

Les constructions géométriques sont une des
parties les plus importantes de l’application de
l’algèbre à la géométrie. Elles ont lieu relative­
ment aux équations algébriques où l’inconnue
peut être déterminée en lignes. L’équation peut
Inscrire un carré dans
être linéaire ou du premier degré , quadratique un triangle donné.
ou du second degré , cubique ou troisième degré,
&c. Sec, &c. Dans le premier cas, l’inconnue

( 9 )
PROBLÈMES.
n’a qu’une valeur qu’on détermine par l’intersec­
tion des lignes droites ; dans le second cas , elle
Mener d'un point don­
a deux valeurs qu’on trouve par l’intersection
né hors de deux paral­
du cercle et de la ligne droite; dans les autres lèles une droite, de ma­
cas, elle a trois , quatre , &c. valeurs qu’on dé­ nière que la partie inter­
termine par l’intersection de différentes courbes, ceptée par ces parallèles,
soit égale à une ligne
dont le choix et l’usage , quoique difficiles , peu­ donnée.
vent donner beaucoup d’élégance à la construc­
tion. Cette manière de considérer les équations
Décrire un cercle qui
algébriques, forme une branche d’analyse , aussi passe par deux points
intéressante qu’utile, à laquelle les géomètres, donnés et qui touche une
depuis Descartes, se sont attachés avec succès. droite donnée de position.
Pour parvenir à l’équation qui résout un pro­
Couper une ligne en
blème , il faut examiner attentivement les condi­
moyenne et extrême rai­
tions de ce problème , exprimer ces conditions son.
par des équations d’où l’on puisse tirer l’équation
finale. Construction géométrique de plusieurs
équations algébriques déterminées du premier et
du second degré.

Théorie

des

I.

Sinus.

PROBLÈMES.

En remontant aux formules précédentes, on en
découvre d’autres qui forment des séries propres
à simplifier le travail du calcul des tables des sinusj
A, B, C, D, &c. étant un nombre d’arcs
quelconques, on aura, en nommant- s la somme
de leurs tangentes, s" leurs produits deux à deux
s'" leurs produits trois à trois, s'v leurs produits
quatre à quatre, &c.

( 12 )

hyperboliqueson a ces autres expressions relatives au sinus et au cosinus de l’arc a qu’on
peut employer utilement dans certains cas.

PROBLÈMES,

Déterminer la nature
et l'expression des loga­
rithmes des quantités né­
gatives.

Développer ^analyse
des opérarions qu il faut
faire , et en donner des
applications particu­
lières.

( n )

PROBLÈMES.
SECTIONS

CONIQUES.

Notions générales sur les courbes. Pour décrire
une courbe, on rapporte chacun de ses points
à l’axe des abscisses et à celui des ordonnées ;
on cherche ensuite le rapport qui se trouve entre
z les abscisses et les ordonnées, er l’expression ana­
lytique de ce rapport, donne l’équation de la
courbe, d’après laquelle on découvre ses diffé­
rentes propriétés. Une courbe est géométrique
ou transcendante. Le cours de ses branches est
fini ou infini, elle peut avoir des points multipies , des points d’inflexion et des points de
rebroussement.
I I.
Si on coupe un cône droit ou oblique par
un plan quelconque , auquel on donne différentes
positions, on aura des sections ou courbes,
connues sous le nom de sections coniques, dont
l’équation générale sera , en appelant, A , B , C,
les angles que forment entr’eux les côtés du cône
et le diamètre de sa base, c la distance du som­
met du cône au plan coupant à l’origine des
coordonnées,

Développer la démons­
tration de cette formule t
Cette équation générale présente trois cas qui et en déduire les différens
cas qui se présentent pour
donnent trois équations particulières entre x et y ,
les différentes positions
dont l’une exprime une courbe qui a deux bran­ du plan.
ches infinies et qu’on nomme parabole, la seconde
une courbe rentrante qu’on appelle élipse , qui
contient aussi le cercle ; la troisième une courbe
qui a quatre branches infinies qu’on appelle
hyperbole.
y -

/cXD (

B—"A (A+B))

PROBLEME S.
Miner d'un point don­
né sur la parabole une
tangente à cette courbe.
L'axe d'une parabole
étant donné avec son pa­
ramétre , trouver un dia­
mètre qui fasse , avec ses
ordonnées t un angle
donné.
Le paramètre d'un dia­
mètre étant donné avec
l'origine de ce diamètre
et l'angle qu'il fait avec
ses ordonnées, trouver
l’axe, son origine et son
paramètre.

Décrire une élipse,

( M )
sommet oit du centre; La somme des rayons vec­
teurs est toujours égale au grand axe.

PROBLÈMES.

V.
Les angles formés sur la tangente en un point
Mener par un point
quelconque de l’élipse par les rayons vecteurs donné de l'élipse une tan­
tirés des deux foyers, sont égaux. Dans cette gente à cette courbe.
bbx

courbe,7 la sounormale =—
.
aa

La normale

y i.

Diamètres conjugués de l’élipse. Paramètres de
ces diamètres. Si des extrémités de deux diamètres
conjugués , on abaisse du même côté deux per­
pendiculaires au grand axe, les triangles formés
par ces perpendiculaires, les deux demi-diamètres
conjugués et les parties du grand axe depuis le
centre , seront égaux en surface ; la somme des
carrés des parties de l’axe depuis le centre jusqu’à
ces perpendiculaires est égale au carré du demigrand axe ; et la somme des carrés de ces per­
pendiculaires est égale au carré du demi-petit
axe. La somme des carrés des deux diamètres

Étant donnés Us deux
demi-axes d'une élipse ,
trouver deux diamètres
qui fassent entr'eux un
angle donné.

Les deux diamètres et
l'angle qu'ils font entre
eux étant donnés, trou­
ver les deux axes et Uur
direction.

PROBLÈMES.

Décrire une hyperbole

tes

?ROBLÈ MES;

Mener par un point
donné de L'hyperbole,
une tangente à cette
courbe.

Une hyperbole ôtant
donnée avec son axe,Dé­
terminer la position des
asymptotes.

Décrire une hyperbole
entre deux asymptotes
données-, et qui passe par
un point donné.

(18)
égaux. Les parties de chacune de ces lignes com­

PROBLÈMES.

prises entre la courbe et les asymptotes sont égales.

La tangente terminée aux asymptotes est divisée
en deux également au point de contact.

X.
Diamètres conjugués de l’hyperbole , paramè­
Etant donnés les deux:
tres de ces diamètres. Si des extrémités des deux demi axes d'une hyper­
diamètres on abaisse du même côté deux perpen­ bole , trouver deux dia­
mètres qui fassent entre
diculaires sur le premier axe , les triangles for­ eux un angle donné.
més par ces perpendiculaires, les deux diamètres
et les parties de l’axe depuis le centre, seront
Etant donnés les deux
égaux en surface , la différence des carrés des par­ diamètres conjugués
ties de l’axe depuis le centre jusqu’à ces per­ d'une hyperbole et l'angle
pendiculaires , est égale au carré du demi-grand qu'ilsfont entr'eux, trou­
ver les deux axes et leur
axe , et la différence des carrés de ces perpen­ direction.
diculaires , est égale au carré du demi-petit axe.
La différence des carrés des deux diamètres con­
jugués quelconques de l’hyperbole est égale à la
différence des carrés des deux axes. Le parallé­
logramme construit sur les. diamètres conjugués
est d’une surface constante et toujours égale
à celle du rectangle des axes.
Si m et n sont deux diamètres conjugués, on.

a y' = —; ( x2 - m2 ) Un diamètre divise tou-

tes ses ordonnées en parties égales et est divisé
en deux également au centre.

(19)
X L
La quadrature des courbes est une des parties
les plus importantes de la géométrie. On obtient
celles des sections coniques par la méthode des
suites en supposant les surfaces de ces courbes
composées d’une infinité de petits rectangles d’une
hauteur égale. On trouve par-là que la surface de
la parabole est les deux tiers du rectangle formé
sur l’abscisse et l’ordonnée ; quant à l’ellipse et
l’hyperbole, on obtient pour l’expression des sur­
faces de Ces deux courbes, des séries conver­
gentes , desquelles il résulte i.° que la surface de
l’ellipse est à celle du cercle construit sur le grand
axe, comme le petit axe est au grand axe ; qu’elle
est égale à celle du cercle dont le diamètre est
moyen proportionnel entre les deux axes , et
qu’il y a même rapport entre un secteur elliptique
et le secteur circûlàire correspondant, qu’entre
les surfaces entières. 2.° Qu’il y a même analogie
entre l’hyperbole équilatère et une hyperbole
quelconque, qu’entre le cercle et l’ellipse ; ensorte
que si on avait la quadrature d’une seule hyper­
bole , on aurait aussi-tôt celle de toutes les autres.

X I I.

m2 étant la puissance d’une hyperbole a
l’angle que font les asymptotes , on a pour sa
surface asymptotique une série logarithmique,
qui se réduit à une expression finie ; ensorte qu’en
nommant i cette surface , on a s s m fin. a L~

qui devient 5=L^ quand l’hyperbole est équi­
latère et sa puissance =i. ; d’où il résulte que
cette surface est le logarithme naturel de l’abs-

PROBLÈMES.

Donner les détails de
Üapplication de la doc­
trine des suites à la qua­
drature des sections coni­
ques , et des conséquences
qui s'ensuivent.

PROBLÈMES.
Déterminer un tra­
pèze hyperbolique, qui
soit à un autre trapèze ,
dans le rapport dey à q.

Déterminer les différens cas de la concho'idc
d nœud , et de la con~
ehoïde à bec ou à rebrous­
sement.

Déterminer la position
de Tasymptote des bran­
ches de la cissoide^

(21)
11 ï.

ÎO'

r

r '

PROBLÈME S.

LA LOGARITHMIQUE, m étant le module et e le
nombre dont le logarithme hyperbolique est i ,
X

on a pour l’équation de cette courbe y = e m.

Mener une tangente à
Elle a une branche infinie qui s’approche conti­
unpoint quelconque de la
nuellement de la directrice, sans pouvoir jamais logarithmique.
l’atteindre. Elle est du nombre des transcendantes.
Sa soutangente est toujours de la même grandeur ,
et égale au module. D’où il suit que dans deux
logarithmiques différentes, les abscisses des mêmes
ordonnées sont comme les soutangentes, et que
par conséquent les logarithmes des mêmes nom­
bres , dans différens systèmes, sont entr’eux
comme les modules.
I V.

La cycloïde. Cette courbe est décrite par un
cercle qui peut avoir tout à-la-fois un mouvement de
Mener une tangente à
rotation et de translation ; d’où il suit qu’elle est un point quelconque
simple ou allongée ou accourcie. Son équation gé- d'une cycloïde ordinaire
accourcie ou allongée.
h
nérale est y “ ~ + fin. « , « étant un arc quel­
conque du cercle générateur pris du sommet.
Elle est transcendante. La tangente de la cycloïde
ordinaire est parallèle à la corde correspondante
de l’arc du cercle générateur, et sa surface totale
est triple de celle du même cercle. Il peut y avoir
encore plusieurs autres espèces de cycloïdes selon
que le point décrivant est pris dans le cercle ou
hors du cercle.

V.

La quadratrice. Désignant par e le quart de

sion qui fait voir que si la base de la quadratrice
pouvait être déterminée, on aurait aussitôt la
Déterminer la position
quadrature du cercle. Cette courbe est transcen- des asymptotes delà qua;
. <• 2
'dratnw. ■
danteet a deux branches égalés et infimes , dont
les asymptotes sont perpendiculaires au diamètre
du cercle. Si on pouvait la décrire géométrique­
ment , on aurait immédiatement tous les angles
: /
■
d’un nombre donné de degrés.
J
-,
.

v;:.

La spirale. Elle prend differens noms, comme
spirale Archimède, parabolique , hyperbolique ,
&c. Les ordonnées dans toutes ces courbes parn
tent d’un point fixe, et les abscisses 5ont repré­
sentées nar des arcs de cercle ; d’où il suit due

PROBLÈME S.

Mener une eangente à
la spirale hyperbolique. ‘
b '■’.i ; 'f uo

a:,o

Déterminer l'asimptott
de cette courbe.
îrisifnôa i ' .s iinaitcqqB liiaq stîfe 2E3
:\nnoblO-O3 ïi - ol'gab I

)lod;3cr'd an» É îtrjii

Développer les équa­
tions particulières qui ré­
sultent de l'équation gé­
nérale.

( *4 )
n’exprime incurie ligne p’ossible. i.° Elle appar­ PROBLÈMES.
tient à une parabole si />.;&= 7 « 2, c’est-à-dirè, si
les . trois premiers termes forment un carré par­ Deux points étant don­
fait , ou s’il rie reste de ces trois premiers térmés nés , trouver la courbe
telle qu'en menant yde ces
que x2 ou y2 ; i,° elle appartient à une élipse deux points , deux droi­
$i b est plus grand que 7 az, et si en même-temps tes qui se rencontrent en
le terme qui contient x~ est positif. Et dans ce un même point de cette
cas elle peut appartenir à un cercle si £ = 1 , et si courbe, l'angle qu’elles
forment entr'elles soit
l’angle des co-ordonnées est droit; 3.0 elle appar­ toujours le même.
tient à une hyperbole si b est plus petit que
Si dans Pangle formé
'-a 2 ou si b est négatif, ou si ayant le rectangle
par
deux lignes, on fait
xy elle manque de l’un des deux carrés x~ ou
mouvoir une autre ligne ,
y* ; 4.0 elle appartient à une hyperbole entre de manière que ses extré­
ses asymptotes si les deux carrés' x et y2 man­ mités restent toujours sur
quent à-la-fois. Tels sont les principes d’après les côtés de cet angle ,
lesquels on ramène aux sections coniques toute déterminer la courbe dé­
crite par un point pris
équation du second degré, à deux indéterminées , sur cette ligne.
lorsqu’elle exprime une chose possible. Ces prin­
Faire passer une sec­
cipes s’appliquent avec succès à la résolution
tion
conique par cinqde plusieurs questions indéterminées dont le dé­
points donnés^
tail jette le plus grand jour sur toute cette théorie
aussi utile qu’intéressante.

III.

Les mêmes principes peuvent servir à résou­
dre des questions déterminées. Lorsque l’équa­
tion finale qui exprime les conditions d’un pro­
blème passe le second degré, on emploie- pour
la résoudre l’intersection des courbes auxquelles,
Trouver deux; moyen­
nes
proportionnelles entre
on donne une même abscisse, en supposant qu’elle
deux lignes données.
est le résultat de deux équations partielles à deux
indéterminées, qui, construites séparément, don­
Diviser un arc de Cernent chacune une courbe. Si le problème est cle-en trois parties égales.
-4
wpossible , les couibes se cénpent en atttantde
-J

points

(25 )
points qu’il. a de solutions : en sorte que tant PROBLÈMES.
que le deux équations quiexpriment ces courbes
ne passeront pas le second degré, la solution
ne dépendra jamais que de l’intersection de deux
Résoudre, par une
sections coniques.'De là il suit qu’on peut ré­ construction géométrique
soudre par l’intersection des sections coniques Péquation générale du
troisième degré, x
toute équation déterminée du troisième et du qua­ — pzq.
trième degré. Dans chaque cas les sections à
Trouver les racines de
construire se couperont en autant de points
Véquation
générale du
qu’il y aura de racines réelles , et s’il y a des
quatrième degré x4 --- •
racines égales elles se toucheront en un ou deux pz x '~\-pz qx-\-p' r= o
points. La solution des équations plus élevées par le moyen du cercle et
dépend de l’intersection des courbes d’ordres plus déune parabole.
élevés que les sections coniques. L’élégance d’une
construction géométrique demande qu’on y em­
ploie les courbes les plus simples du même ordre.

Principes du

calcul infinitésimal.

Toute grandeur peut varier d’une quantité quel­
conque en augmentant ou en diminuant. Suivre
les rapports de ces variations , et remonter par
la connaissance de ces rapports à la grandeur
elle-même, est l’objet du calcul infinitésimal.
Origine de ce calcul. Méthodes qui l’ont précédé;
il se divise en calcul différentiel et en calcul
intégral.

Calcul différentiel.
I.
Le calcul différentiel enseigne à trouver les
différences ou variations infiniment petites d’une
quantité variable quelconque. On emploie la lettre
d pour désigner ces différences. Avantages de cette

PROBLÈMES.
Développer la manière
de différencier une expres­
sion algébrique quelcon­
que.

Trouver la différentielle
d'une expression logarithr
mique f exponentielle ou.

(x8 )

PROBLÈMES.
Déterminer l'expres­
sion du rayon de cour­
qui servira à mesurer la courbure d’une courbe bure dans les sections
coniques.
en un point quelconque.
V.

Pour trouver entre plusieurs quantités qui
croissent ou qui décroissent suivant une cer­
taine loi, quelle est la plus grande ou la-petite;
on emploie la méthode des maximis et minimis,
qui consiste particulièrement à considérer l’ex­
pression du rapport de ces quantités comme
l’équation d’une courbe dans laquelle l’ordonnée
peut devenir un maximum ou minimum , ou tout
à-la-fois un maximum et un minimum, suivant
que la tangente sera parallèle ou perpendicu­

Diviser une quantité a
en deux parties, telles
que le produit xm (a-xf1
soit le plus grand possi­
ble.
Trouver les diamètres
conjugués de l'élipse qui
font entr'eux leplus petit
angle.

De toutes les paraboles
que l'on peut couper dans
un cône droit, déterminer
laire à l’axe. Ces cas donnent — ==o ou ——o celle qui a le plus de sur­
dx,
dy
et pour les distinguer d’une manière générale , face..
il faut avoir égard en même-temps à l’expres­
Trouver le nombre x ,
sion du rayon de courbure, qui pouvant deve­ dont la racine x est un
nir positif ou négatif, infini ou nul, peut faire maximum,.
connaître le vrai caractère de la quantité dont
on cherche la nature. Détails sur cette matière.

V I.
Trouver la valeur de
Il se présente souvent des expressions algébri­
x2 a1
. lorsques en forme de fractions dont les numérateurs la fraction--------x~ a
et les dénominateurs se réduisent à zéro dans cer­ qucx s== a.
tains cas , qui, quoique indéterminées en appa­
Trouver la valeur de
rence , sont pourtant susceptibles de valeurs dé­
a—x
y—
—%» qui est Teterminées. - étant une fraction de ce genre, on
acot.-p.
quation de la quadratrice*.
la changera en
i si la valeur donnée à x ne lorsque x~ a

C

)

réduit pas cette nouvelle fraction a;, on aura
la valeur de la fraction primitive ; mais si cette
P>
nouvelle fraction représentée par — se réduit
a-, on la changera encore en-— qui donnera

la valeur de la fraction primitive dans la même
supposition si elle ne se réduit pas a ; dans le
cas contraire on changera cette dernière expri,
P"
dP”
. . ,
. .
mee par _ en — „, et ainsi de suite jusqu à ce

qu’on ait une valeur dont un des termes , au
moins, soit fini.

Calcul

intégral.

I.
Le calcul intégral a pour objet de trouver la
quantité à laquelle appartient une différentielle
donnée, c’est-à-dire de déterminer le rapport des
variables par celui de leurs différentielles. On
se sert de la lettre f pour désigner une intégrale.
Donner la règle géné­
Toute différentielle monome xndx est intégrable
rale d’intégration et l'ap­
algébriquement, excepté lorsque n —— i. son pliquer à des différentiel­
les susceptibles d'intégra­
intégrale algébrique est fxndx ta---- -—-f-C;
tion immédiate.
n 4- I
mais si n = —,j on a alors/— = Lx. -f- C. Il
suit de là que l’on obtiendra toujours l’intégrale
d’une différentielle polynôme à une variable ré­
ductible à une suite de monômes. Dans toute
intégration il faut ajouter une constante. On.
la supposera par la suite.

I I.

— ..... . '
. < -y k
Toute différentielle bynome xa dx(a-+-xm},

Ç(y?z>:
parvenir pâr le moyen des principes précédens,
en égalant la propriété donnée à l’expression gé­
nérale de la même propriété exprimée par le
moyen du calcul différentiel. On aura ainsi une
équation qui, par l’intégration exacte ou indiquée,
donnera celle de la courbe. Cette méthode est
appelée méthode inverse des tangentes.

PROBLÈMES.
’

Trouver la courbe dont
d+xz
la soutangente est——-

Trouver la courbe dans
laquelle la somme de la
sounormale et de l'abscis­
se est constante.

RÉPONDRA:
le
LÉONARD

Citoyen

D AL E S M E , A /æ commune de Bassillac ,
Elève de Mathématiques.

'

-j--:*îr

r

ï

TAMARELLE-LAGRAVE,
n* 1 F Æ i C .ï H F 0 ÎJ £ J . Professeur.
r ® L^VILLÉ; 1 ..........

/

r

..LVE PERIGUEUX i "r

,

... ‘

, v

T

■1

3 - • — A

X ,

3
■A

v. yï

'• jy

’

‘

-*•

V V\

-f;o

~:ns

~

*“ "\r

'

t1

si

“

\ r c,

\ •—*

r
Ui

A

r

5

31

r

2*’

0 [ L- O* r-’T’îîJ C*-, -,r

Xf

X x

■

r

-A

*

n {.p t r

—

'P

' ‘T

J